Ο φιλόσοφος που ανακάλυψε τους άρρητους αριθμούς και απέδειξε ότι οι Πυθαγόρειοι έκαναν λάθος
Ίππασος ο Μεταπόντιος, ο φιλόσοφος που ανακάλυψε τους άρρητους αριθμούς και πέθανε για να αποδείξει ότι οι Πυθαγόρειοι έκαναν λάθος.
Σε αυτόν τον Έλληνα φιλόσοφο, ακόλουθο του Πυθαγόρα και δάσκαλο του Ηράκλειτου , στον οποίο ενστάλαξε την ιδέα ότι η αρχή ή η αρχή των πάντων ήταν η φωτιά, αποδίδονται - αναμφισβήτητα - η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών , η κατασκευή ενός δωδεκάεδρου εγγεγραμμένου σε μια σφαίρα και πολλά έργα για την ακουστική.
Ίδρυσε επίσης ένα μαθηματικό τμήμα στην Πυθαγόρεια σχολή που, σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, τελικά του επέφερε εξοστρακισμό ή ακόμη και θάνατο επειδή παραβίασε το απόρρητο των μαθηματικών δογμάτων της . Μιλάμε για τον Ίππασο από τον Μεταπόντιο.
Ο Ηράκλειτος σε πίνακα του Γιοχάνες Μορέλσε. Από Wikimedia Commons.
Το Μεταπόντιο ήταν πόλη της Μεγάλης Ελλάδας , όπως ονόμαζαν οι Έλληνες την περιοχή που καταλάμβαναν οι αποικίες τους στα νότια της ιταλικής χερσονήσου και της Σικελίας. Βρίσκεται στον κόλπο του Τάραντα και, σύμφωνα με τον Στράβωνα, ιδρύθηκε από τον Επειό από τη Φωκίδα, τον θρυλικό κατασκευαστή του Δούρειου Ίππου , κατά την επιστροφή του στην Πύλο στο τέλος του ομηρικού πολέμου.
Ωστόσο, ο Έφορος της Κύμης απονέμει αυτή την τιμή στον Δαύλιο , τύραννο της Κρίσας, ενώ ο Αντίοχος των Συρακουσών επιλέγει την ομώνυμη οδό και ευνοεί τον Μετάβο , έναν μονάρχη της Βόλσκης. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν περισσότερες υποθέσεις, και η πιο αποδεκτή είναι ότι ορισμένοι Αχαιοί άποικοι, με επικεφαλής τον Λεύκιππο , εγκαταστάθηκαν εκεί τον 7ο αιώνα π.Χ., κατόπιν σύμβασης με τους ιθαγενείς για να περιορίσουν την επέκταση του Τάρεντου.
Τοποθεσία του Μεταπόντου και άλλων ελληνικών αποικιών στη Μεγάλη Ελλάδα. Από: Future Perfect at Sunrise / Rowanwindwhistler / Wikimedia Commons.
Αυτό που είναι σημαντικό είναι ότι η αποικία άκμασε χάρη στη συμμαχία της με άλλους γειτονικούς Αχαϊκούς οικισμούς, όπως ο Κρότωνας και η Σύβαρη . Δεδομένου ότι ο Πυθαγόρας έζησε στην πρώτη, οι διδασκαλίες του έγιναν ευρέως αποδεκτές στο Μεταπόντιο. Μάλιστα, ο φιλόσοφος κατέφυγε εκεί όταν εκδιώχθηκε από την πόλη του, παραμένοντας σε αυτή που τον φιλοξένησε για το υπόλοιπο της ζωής του (πέθανε γύρω στο 490 π.Χ.), και το σπίτι και ο τάφος του έγιναν χώροι λατρείας ενώ η σχολή του παρέμεινε εκεί.
Η σχολή επικέντρωσε τη δραστηριότητά της στην αναζήτηση της προαναφερθείσας αρχής μέσω αριθμητικών σχέσεων και γεωμετρικών αναλογιών, θεωρώντας ότι η αρμονία του σύμπαντος (όχι μόνο των αστεριών αλλά και άλλων πραγμάτων όπως η μουσική) υπάκουε σε μαθηματικούς κανόνες.
Δεν προκαλεί έκπληξη, λοιπόν, το γεγονός ότι ο Ίππασος γοητευόταν επίσης από αυτόν τον σοφό, τον οποίο αποκαλούσε «μεγάλο άνθρωπο» . Λίγα είναι γνωστά για τη ζωή του, με τη γέννησή του να υπολογίζεται γύρω στο 530 π.Χ., περίπου 4 δεκαετίες μετά τον θαυμαστό δάσκαλό του.
Οι κύριες πηγές γι' αυτόν είναι οι Βίοι και Γνώμες Επιφανών Φιλοσόφων του Διογένη Λαέρτιου, ο Πυθαγόρειος Βίος του Ιάμβλιχου της Χαλκίδας και η Συλλογή του Πάππου της Αλεξάνδρειας, αλλά τα δεδομένα είναι λιγοστά, συχνά έμμεσα και διαστρεβλωμένα. Για παράδειγμα, ενώ ο Αριστοτέλης τον θεωρούσε καταγόμενο από το Μεταπόντιο - είχε το παρατσούκλι Μεταποντίνος - άλλοι συγγραφείς λένε ότι γεννήθηκε και πέθανε στον Κρότωνα (γύρω στο 450 π.Χ.) ή ακόμα και στη Σύβαρη.
Φαίνεται να υπάρχει ομοφωνία στην αναγνώριση των μελετών του για την ακουστική και τον συντονισμό, για τις οποίες έχουμε μόνο αναφορές από τρίτους. Λένε ότι, όπως ο Πυθαγόρας εφηύρε το μονόχορδο , ο Ίππασος διεξήγαγε πειράματα με χάλκινους δίσκους ίδιας διαμέτρου αλλά διαφορετικού πάχους (ο πρώτος κατά ένα τρίτο μεγαλύτερος από τον δεύτερο, μιάμιση φορά μεγαλύτερος από τον τρίτο και διπλάσιος από τον τέταρτο) και ότι, αφού τους τοποθέτησε σε δοχεία γεμάτα με νερό και τους χτύπησε ρυθμικά, απέκτησε αρμονικούς ήχους . Προφανώς, ο στόχος του δεν ήταν μόνο να επιτύχει αυτή τη βασική μουσική, αλλά και να αναλύσει την αναλογική αριθμητική πρόοδο στον συντονισμό.
Ένα φανταστικό πορτρέτο του Ιππάσου σε ένα χαρακτικό του Girolamo Olgiati από το 1583. Από: Wikimedia Commons.
Αυτό το ενδιαφέρον για τους αριθμούς μας οδηγεί σε ένα άλλο θέμα: την αναγνώρισή του ως ηγέτη των ακουσματικών , ενός κλάδου της Πυθαγόρειας σχολής που αντιτίθεται στους μαθηματικούς . Οι τελευταίοι ήταν οι προχωρημένοι μαθητές, πλήρως καταρτισμένοι στη διδασκαλία και διδασκόμενοι προσωπικά από τον Πυθαγόρα, ενώ οι ακουσματικοί (από την ελληνική λέξη ακουστικός , να ακούω χωρίς να βλέπω) ήταν κατώτεροι από αυτούς, όντας αρχάριοι μαθητές στους οποίους ο δάσκαλος δίδασκε κρυμμένος πίσω από μια κουρτίνα, τους απαγόρευε να αποκαλύπτουν τις διδασκαλίες ή ακόμα και να κάνουν ερωτήσεις· κάτι που, όπως θα δούμε, θα οδηγούσε στην πτώση του Ίππασου και σε σχίσμα στη σχολή.
Και οι δύο ομάδες υπέθεταν αυτή τη γνώση με διαφορετικό τρόπο. Οι μαθηματικοί ένιωθαν πνευματικά ανώτεροι - ο ίδιος ο Πυθαγόρας το έκανε σαφές με τη μέθοδό του - και, κατά συνέπεια, αργότερα δίδαξαν ελεύθερα τη φιλοσοφία, εμμένοντας στο πνεύμα όσων μάθαιναν από τον δάσκαλο, αλλά αφομοιώνοντάς το κριτικά, όχι τυφλά. Ήταν έτσι φιλόσοφοι με κεφαλαίο Π. Αντίθετα, οι ακουσματικοί τον ακολούθησαν δογματικά κατά γράμμα και, με την πάροδο του χρόνου, θεωρήθηκε ότι ο πραγματικός εμπνευστής αυτής της γραμμής δεν ήταν ο Πυθαγόρας αλλά ο Ίππασος. Ο Ιάμβλιχος το εξηγεί ως εξής:
Υπήρχαν επίσης δύο μορφές φιλοσοφίας, που αντιστοιχούσαν στους δύο τύπους που την ασκούσαν: οι Ακουσμικοί και οι Μαθηματικοί . Ενώ οι άλλοι αναγνώριζαν τους τελευταίους ως Πυθαγόρειους, οι Μαθηματικοί δεν παραδέχονταν ότι οι Ακουσμικοί αντλούσαν τις διδασκαλίες τους από τον Πυθαγόρα, αλλά από τον Ίππασο. Η φιλοσοφία των Ακουσμικών συνίστατο σε ακροάσεις χωρίς αποδείξεις ή συλλογισμούς· διότι απλώς διέταζαν κάτι να γίνει με έναν ορισμένο τρόπο και αγωνίζονταν να διατηρήσουν, ως θεϊκά δόγματα, τις άλλες διδασκαλίες του Πυθαγόρα. Η μνήμη ήταν η πιο πολύτιμη ικανότητα. Όλες αυτές οι ακροάσεις ήταν τριών τύπων: άλλες υποδείκνυαν τη φύση ενός πράγματος, άλλες την ιδιαίτερη φύση του και άλλες, τι έπρεπε ή δεν έπρεπε να γίνει.
Φυσικά, όλα αυτά δεν υπονοούν ότι ο Ίππασος δεν ήταν ιδιοφυής, αν και είναι δύσκολο να εκτιμηθεί σωστά επειδή, όπως είπαμε, δεν άφησε γραπτά έργα από όσα γνωρίζουμε, αν και ορισμένοι τον θεωρούν συγγραφέα ενός κειμένου με τίτλο «Μυστικός Λόγος», σκοπός του οποίου θα ήταν να δυσφημίσει τον Πυθαγόρα .
Στην πραγματικότητα, ο Ίππασος είχε τους μαθητές του, και ένας από αυτούς ήταν ο Ηράκλειτος ο Εφέσιος, ένας προσωκρατικός φιλόσοφος όπως αυτός, ο οποίος έλαβε διάφορα παρατσούκλια («ο Μάντης», για τη μαντική φύση των διδασκαλιών του, ή «ο Κλαίων», για τον υποτιθέμενο μελαγχολικό χαρακτήρα του...) και ο οποίος θα μπορούσε να θεωρηθεί μισάνθρωπος επειδή περιφρονούσε τα δημοφιλή πράγματα.
Ο Ηράκλειτος έχει μείνει στην ιστορία επειδή θεωρούσε ότι η πρωταρχική ουσία είναι η φωτιά, η λιγότερο συνεπής από όλες και αυτή που μετασχηματίζεται πιο εύκολα. Αυτή η έννοια της συνεχούς μεταβολής και κίνησης των πραγμάτων ερχόταν σε αντίθεση με την αμετάβλητη φύση που διακήρυττε ο Παρμενίδης και την πήρε από τον Ίππασο, ο οποίος επίσης έβλεπε τη φωτιά ως την αρχέγονη ή θεμελιώδη αρχή της ύπαρξης και ο οποίος, σε αντίθεση με τους Πυθαγόρειους συντρόφους του, πίστευε ότι οι αριθμοί , για αυτούς η βάση των πάντων, ήταν μόνο ένας άυλος τρόπος για να διατυπωθεί η αρμονική τάξη. Αργότερα θα δούμε ότι αυτό ερμηνεύτηκε ως παραβίαση του διδακτικού μυστικού στο οποίο ήταν δεσμευμένος ως ακουσματικός.
Ύμνος των Πυθαγορείων στον Ανατέλλοντα Ήλιο, πίνακας του Φιόντορ Μπρόννικοφ. Από Wikimedia Commons.
Στη γεωμετρία ο Ίππασος έκανε ένα από τα βήματα που χαρακτήρισαν την καριέρα του, όντας σε θέση να συνθέσει ένα κανονικό δωδεκάεδρο εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα (δηλαδή, ένα πολύεδρο δώδεκα ίσων πενταγωνικών εδρών ως προσέγγιση της σφαιρικότητας, ένα σύμβολο κοσμικής τάξης· θα ανακαλούνταν από τον Πλάτωνα και, αιώνες αργότερα, από τον Κέπλερ στα γεωμετρικά του μοντέλα του ηλιακού συστήματος).
Σχετικά με αυτό, θεωρείται συχνά που ανακάλυψε την ασύμμετρη φύση των άρρητων αριθμών, εκείνων που δεν μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα δύο ακεραίων επειδή έχουν άπειρο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή και αυτά τα ψηφία δεν ακολουθούν κανένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο.
Στα μαθηματικά, δύο σύμμετροι αριθμοί είναι αυτοί που μπορούν να μετρηθούν , να συγκριθούν ή να αξιολογηθούν με βάση μια κοινή παράμετρο: όταν η διαίρεσή τους έχει ως αποτέλεσμα έναν ρητό αριθμό (ένα ακριβές κλάσμα). Υποτίθεται ότι ο Ίππασος απέδειξε αριθμητικά την άρρητοτητα της τετραγωνικής ρίζας του 2 (√2), αν και ορισμένοι σύγχρονοι συγγραφείς αμφισβητούν αυτή την αξία επειδή, σύμφωνα με τον Πλάτωνα στο έργο του Θεαίτητος , ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος είχε ήδη αποδείξει την άρρητοτητα των τετραγωνικών ριζών από το 3 έως το 17 πριν από αυτόν. Πράγματι, ήταν ένα πολύ παλιό θέμα επειδή ο Ευκλείδης και ο Αριστοτέλης είχαν επίσης ασχοληθεί.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η ασυμμετρία αρχικά αναφερόταν στην αναλογία μεταξύ της διαγωνίου και της πλευράς ενός τετραγώνου, ένα πρόβλημα που τώρα συνδέεται με τον άρρητο αριθμό √2. Το τετράγωνο μελετήθηκε ιδιαίτερα από τους Πυθαγόρειους, αν και πιθανώς όχι τόσο όσο το κανονικό πεντάγωνο , το οποίο θεωρούσαν το εμβληματικό γεωμετρικό τους σχήμα επειδή κρύβει μέσα του μια πολύτιμη σχέση: αυτή που ο Ευκλείδης ονόμασε διαίρεση σε ακραίο και μέσο λόγο, που αργότερα μετονομάστηκε σε χρυσή τομή (αυτή μεταξύ δύο τμημάτων μιας γραμμής, με κατά προσέγγιση τιμή 1,6180).
Η χρυσή τομή, η οποία αντιπροσωπευόταν από το ελληνικό γράμμα φ (ϕ), εμφανίζεται συνεχώς στη φύση - σε κοχύλια, λουλούδια, κουκουνάρια... - γι' αυτό και είναι γνωστή ως ο αριθμός του Θεού , θεϊκή αναλογία και παρόμοια ονόματα. Για αυτόν τον λόγο, τυλιγμένη σε τέτοιο μυστικισμό, εφαρμόστηκε επίσης στην Τέχνη, την Αρχιτεκτονική και το Design. Όντας άρρητη, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ακριβώς ως δεκαδικό κλάσμα, καθώς κάποιος μπορεί να υπολογίζει ψηφία για πάντα χωρίς να φτάσει ποτέ στο τελευταίο.
Στο πεντάγωνο, η αναλογία διαγωνίου-πλευράς αποδείχθηκε ασύγκριτη, και ο αριθμός που την προσδιορίζει σήμερα είναι γνωστός ως ο χρυσός αριθμός , που εκφράζεται ως: φ = 1 + √5/2. Αυτό κατέστησε σαφές ότι οι Πυθαγόρειοι έκαναν λάθος .
Κατανοώντας τους άρρητους αριθμούς
Λέγεται ότι ο Ίππασος ήταν Πυθαγόρειος και ότι, επειδή ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε και περιέγραψε τη σφαίρα από δώδεκα πεντάγωνα, χάθηκε στη θάλασσα για την ασέβειά του, αλλά έλαβε την αναγνώριση για την ανακάλυψη, αν και στην πραγματικότητα όλα ανήκαν σε Αυτόν (γιατί με αυτόν τον τρόπο αναφέρονται στον Πυθαγόρα και δεν τον αποκαλούν ονομαστικά).
Είναι άγνωστο πόσα ιστορικά στοιχεία υπάρχουν σχετικά με τη σύνδεση μεταξύ των άρρητων αριθμών και του θανάτου του Ίππασου. Ίσως όχι πολλά, αφού, προφανώς, υπήρξε μια διαστρέβλωση από τον Αριστοτέλη, περιγράφοντας ως σοβαρή ρήξη του πυθαγόρειου δογματικού κανόνα αυτό που ο Ιάμβλιχος και ο Πάππος της Αλεξάνδρειας θεωρούσαν απλώς μια διακριτική ολίσθηση του φιλοσόφου προς ορισμένες βωμολοχίες σχετικά με το δωδεκάεδρο και την ασυμμετρία.
Αν όλα ήταν υπερβολή, είναι πιθανό να μην τον σκότωσαν στην πραγματικότητα, αλλά αντ' αυτού, αφού τον απέβαλαν από το σχολείο, να έστησαν ένα κενοτάφιο πάνω από το σπίτι του που συμβόλιζε τον δημόσιο θάνατό του, σαν ένα είδος damnatio memoriae.
Γεωδίφης
Πηγές:
Jámblico, Vida pitagórica
Antoine Holou-García, Mathematikós: Vidas y hallazgos de los matemáticos de Grecia y Roma
Douglas Jiménez, La muerte de Hipaso y el dodecaedro
Wikipedia, Hípaso de Metaponto
https://www.labrujulaverde.com/en/2026/08/hippasus-of-metapontum-the-traitor-philosopher-who-proved-the-pythagoreans-were-wrong/
https://archive.nytimes.com/opinionator.blogs.nytimes.com/2011/03/08/the-ashtray-hippasus-of-metapontum-part-3/
